概率论的公理化体系

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概率论的公理化体系

定义

• 将样本空间 \(\Omega\) 的一些子集所构成的类 \(\mathscr{F}\) 叫做事件 \(\sigma\) 域, 仅当它满足如下三条规定:

  (1) \(\Omega\in\mathscr{F}\).
  (2) 只要 \(E\in\mathscr{F}\), 就有 \(E^c\in\mathscr{F}\).
  (3) 只要 \(\{E_n,\ n\in\mathbb{N}\}\subset\mathscr{F}\), 就有 \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty\in\mathscr{F}\).

定理

• 设 \(\Omega\) 为样本空间, 如果 \(\mathscr{F}\) 是其中的事件 \(\omega\) 域, 则一定有

  (1) \(\varnothing\in\mathscr{F}\).
  (2) 如果 \(\{E_n,\ n\in\mathbb{N}\}\subset\mathscr{F}\) 那么 \(\bigcap\limits_{n=1}^\infty E_n\in\mathscr{F}\).
  (3) 如果 \(\{E_n,\ n=1,2,\ldots,m\}\subset\mathscr{F}\) 那么 \(\bigcap\limits_{n=1}^m E_n\in\mathscr{F}\) 且 \(\bigcup\limits_{n=1}^m E_n\in\mathscr{F}\).
  (4) 如果 \(E_1,E_2\in\mathscr{F}\) 那么 \(E_1-E_2=E_1E_2^c\in\mathscr{F}\).

定义

• 将对所给出的一些集合所作的各种(有限次或可列次)取余、取交和取并运算以及他们的混合运算都称为 \(\text{Borel}\) 运算.

按照这一定义, \(\sigma\) 域就是在一切可能的 \(\text{Borel}\) 运算之下封闭的 \(\Omega\) 的子集类.

定义

• 如果 \(\mathscr{A}\) 是 \(\Omega\) 的一个子集类, 那么由 \(\mathscr{A}\) 中的集合作一切可能的 \(\text{Borel}\) 运算所得到的 \(\sigma\) 域 \(\mathscr{F}\) 称为由 \(\mathscr{A}\) 生成的 \(\sigma\) 域, 记作 \(\mathscr{F}=\sigma(\mathscr{A})\).

定理

定义 概率

• 设有可测空间 \((\Omega,\mathscr{F})\), 定义在 \(\mathscr{F}\) 上的集合函数 \(\tP\) 为概率测度, 如果它具有如下三条性质:

  (1) 非负性: 即对任何事件 \(E\), 有 \(\tP(E)\geqslant 0\).
  (2) 规范性: 即 \(\tP(\Omega)=1\).
  (3) 可列可加性: 如果 \(\{E_n,n\in\mathbb{N}\}\) 是一列两两不交的事件, 那么就有 $$ \tP\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\tP(E_n). $$

  则称 \(\tP\) 为概率.